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學習一位數除三位數的除法

學習一位數除三位數的除法,其運算過程與一位數除二位數的除法大同小異,只要通過粒、條、塊的實物,讓學童用實物操作來進行分物,並以長除式來記錄分物過程,便可以從容計算一位數除三位數的除法
家長可教學童如影片中的示範者一樣,每操作一步,便在長除式上記錄。若學童不能同時兼顧實物操作和長除式記錄,家長可用以下方法進行協助:
1. 學童負責操作粒、條、塊進行分物,同時家長負責在長除式上記錄,以兩人合作的方式,確保操作和長除式逐步對應。
2. 互換身份,家長負責操作粒、條、塊進行分物,同時學童負責在長除式上記錄,以兩人合作的方式,確保操作和長除式逐步對應。
每一次,當學童能完全理解直式運算的實際含義后,家長則可鼓勵學童脫離粒、條、塊,眼看直式,在腦中想著對應的粒、條、塊,進行計算。
影片01,利用粒、條、塊,進行286÷2=?的計算。

不能均分怎麼辦? 對應實物,與學童討論不能再均分「塊」可以怎麽辦。學童看著實物,家長再略微引導,學童便知道可以把百位的1塊拆開換成10條,此時,家長宜將這個退位的過程逐步對應,在直式上記錄下來,從而讓學童明白除法直式中亦可以退位操作繼續分物。以下影片交待了完整的退位過程,在學童初學退位時,家長宜跟著影片的步伐,逐步將退位操作和直式記錄對應,幫助其掌握。只要完成了退位,剩下的運算就回到了學童已經掌握的内容了。
影片02,利用粒、條、塊,進行658÷5=?的計算。

若果在開始計算時已經不能均分,只要把百位的1塊拆開換成10條,完成了退位,便可以繼續分物。
影片03,利用粒、條、塊,進行137÷4=?的計算。

如果不能再均分的「條」可以怎麽辦? 對應實物,與學童討論不能再均分「條」可以怎麽辦。學童看著實物,家長再略微引導,學童便知道可以把十位的1條拆開成10粒。此時,家長宜將這個退位的過程逐步對應,在直式上記錄下來,從而讓學童明白運用與百位相類的退位方式,學童就回到了已經掌握的内容了,繼續剩下的運算。
影片04,利用粒、條、塊,進行539÷4=?的計算。

影片05,利用粒、條、塊,進行205÷3=?的計算。

若在直式的運算過程中,若商包含「 0」,學生往往會混淆商的位值。所以學生只要繼續因應均分,即每一份都能均分成0份,並在直式上記錄下來。學生便不會混淆位值。
影片06,利用粒、條、塊,進行307÷3=?的計算。

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用「時」和「分」報時(指針鐘)

很多家長告訴我,報時(傳統指針鐘)很難學。這是有道理的,例如:
(1)時鐘與一般的量度工具不同,它的指針數量超過一枝(時針、分針、秒針),學生在讀數時,往往會受其它的指針分散了注意力;
(2)它含有兩種刻度(大格,小格),學生在報時的時候,要根據所讀的指針判別使用的刻度;
(3)它的時間單位時、分、秒的關係為60進制,與一般的10進制刻度不同;
(4)它上面顯示12個數,但一日卻有24小時
……
所以沒錯,時鐘真的很難學!

此影片介紹如何報時,主要的對策為:
(1)先拆走分針及秒針,讓學生先專注於「時針」的報時功能。如果有條件的話,後面的刻度最好也去除「小格」,只留下「大格」和12個數。在此過程中,讓學生了解「X時正」,「過了X時正,未到Y時正」,「到了Y時正」三種狀態。
(2)提及一小時太長,當要在某兩個時正之間報時,則需要更精準的刻度。引入「分針」,介紹它們的關係:時針走一大格,分針正好走一個圈。一圈等分了60小格,分針每走一小格,時間就過了一分鐘。
(3)了解當分針越接近走完一圈時,時針會越來越靠近下一個數。所以在報時時,應該透過「分針」確定是否已達時正。

對時鐘有初步的認識後,還需要練習來鞏固,可看下一條影片「認讀時鐘(指針鐘)(二)」。

「時針接近下一個數,但實際的時間卻沒有到達下一個時正」這個情況是最容易讀錯鐘的。影片中,只要學生一犯這個錯誤,我就會撥動分針至下一個時正,讓他發現剛才報時時,自己被「時針」騙了。被時針騙了幾次後,影片中的學生終於開始小心報時了。

由不退位減法到退位減法

兩位數減法(1):不涉及退位的減法

在學習直式計算減法的時候,最主要搞清楚直式各部分的意思。影片中,透過條粒對應直式,正是讓學生掌握直式上各數的意思。若家長/教師在教導學生時,應當鼓勵他們一遍做一遍說「原有XX,取走XX,剩下XX」。

大多數學生在進行不退位減法時,都會習慣性從十位做起。影片中的學生也是先取走了十位的2條,再取走個位的5粒。在不涉及退位時,從個位開始計算,並沒有什麼明顯的優勢。反而從十位開始計算,符合學生慣用的「從左到右」的順序。這也解釋了為什麼家長/老師在此時要求學生從個位開始計算,學生並不十分願意遵從。家長/教師不妨將「從個位開始計算」留到涉及退位的減法時,再與學生討論及改良計算過程。

兩位數減法(2):涉及退位的減法(學生選擇由十位做起)

學生還未比較過退位減法中「由十位做起」與「由個位做起」兩者運算上的不同,因此影片中的學生在第一次遇見退位減法的過程中,還是按自己以往在做不退位減法時的方式,由十位做起。

教師在影片中未要求學生要對應直式逐步計算,這是因為此次是學生第一次接觸「個位原有的數不夠減」的情況,教師想讓學生先嘗試自己解決問題,從而對「退位」有較完整/深刻的體驗。

在後續影片,教師會與學生將實物操作與直式操作逐步對應,從而討論「由個位開始做」及「由十位開始做」兩者的優異。

兩位數減法(3):涉及退位的減法(由十位做起,還是由個位做起?)

在之前的影片中,學生已透過實物操作,對「退位」由基本的認識,知道當個位粒的數量不夠取走對應的數量時,可以將十位的1條拆開成10粒,然後再取走。

此影片中,教師與學生將實物操作與直式操作逐步對應,並嘗試比較「由個位開始做」及「由十位開始做」兩者的優異。在討論時,學生最初的討論有些混亂,好在後來自己釐清了思路,同意「由個位開始做」操作會比較簡潔。

討論兩位數數值與數字的變化

雖然僖僖還未學退位減法,但憑藉他對「位值」的認識,已可以借「條」、「粒」討論當一個兩位數的數值變大/變小時,十位與個位數字會怎樣變化的問題了。一方面,鞏固他對「位值」的了解,另一方面也為日後學習減法退位鋪路。

僖僖樂於表達,這是個好現象。教學過程中他能表達的地方,我都盡量給他機會去說。這個過程中,要給予一些容許錯誤的空間。要知道,在初學階段,學童的腦子很忙碌,又要顧著思考,又要監控手上的學具,還要顧著講話,不小心說錯一些訊息是很正常的事。只要不影響你的理解,就由他接著敘述吧。當他講完,就是「教學」的時間了,我們可以重複一次他的動作,不過用更準確的語言去表達,即不打擊他自信心,又教會他怎麼去表達。他更可以以旁觀者的角度,檢視一遍剛才自己所做所講,從而修正/鞏固概念。等他熟知內容後,再訓練他表達,這便是「小老師」出場的時間了。

關於影片中的數學內容,「滌塵有志」已經用不同的方式呈現了很多遍了,想了解更多,可以參看「順數」練習「倒數」練習,或「29多1,為何是30」這幾篇文章。

如何幫助工作記憶較弱的學生處理兩次或以上的退位減法

(1)學習退位

「退位」聽起來只是一件事,但如需在算式上清楚地記錄退位的過程,則需要同時改變兩個數位上的數字。因此,教學中,建議刻意將「退位」用「前借1,後多10」兩句短句來描述,並要求學生逐句念,逐句記錄。「前」和「後」兩字,實際提醒學生需要在兩個位置上做記錄,否則便未完成退位的過程。

如果學童能在一次退位時,便留意要用紙筆完整地記錄退位的兩個步驟才開始計算,則能幫助學童為多次退位打好基礎。

(2)分清次目標

到了三位數或者更多位數的減法,因爲涉及的步驟繁多,數字訊息也較多,所以我們還需要教導學生要耐心地逐欄計算-從個位開始,逐個數位計算。完成一位,才到下一位。否則,對於工作記憶較弱的學童而言,很容易計算中途不知道自己該做什麼。

另外,在教學中,可使用自製教具 -遮擋板。透過遮擋住算式,讓學生指出需要知道哪個位置的數字,再顯示給他們看。這能幫助學生區分哪些數字是當下的計算步驟必要的訊息,哪些訊息是與當下的步驟無關的。避免他們在計算時,注意力分散去其他地方,或者受到無關數字訊息的干擾。有需要的學生,更可教其用手指模仿老師的遮擋板,幫助自己遮擋無關訊息的干擾。

簡單來說,若在教學中能讓學生體會到以下幾點,三位數的減法並不是那麼困難。

雖然要計算的數位增多了,但在不同數位上的計算步驟是一樣的。不論是個位、十位、百位還是千位,都是在重複同一組動作:
a. 看看夠不夠減;
b. 不夠減就先退位--「前借1,後多10」;
c. 夠減就減,記錄答案。
從個位開始,逐個數位計算。完成一個位,才到下個位。
按計算需要鎖定必要訊息,防止無關訊息的干擾。(自製教具 -遮擋板 )

影片:三位數兩次退位的計算程序:

影片:教導學生有條理地逐步完成計算:

影片:三位數兩次退位(被減數的中間是0)的計算程序:

影片:教導學生有條理地逐步完成計算(被減數的中間是0):

平均分物的教學

除法源於「平均分」及「包含分」兩種分物情景。此教學影片教授學生平均分物。在分物的過程中,教師要求學生一邊分物,一邊記錄分物的過程。這是為了讓學生留意分物中「分物的份數」、「每份的數量」以及「共分去的數量」之間的關係,為學生進一步學習除法舖路。

學生再次分物後,教師又引導學生透過觀察分物的記錄,特別是「份數」、「每份得到的數量」及「共分去的數量」的關係,由此發現它們正是乘法表內的數。教師與學生回顧分物過程,明白可以用乘法計算「共分去的數量」。

當學生熟知平均分物的過程後,教師便鼓勵學生先不用實物,而是在心中模擬分物的過程,並在白紙上做記錄。這個活動,目的是讓學生知道,當「共分去的數量」已最接近而不超過「分物的總數」時,分物便可以停止。當學生在心中找到分物的結果後,再用實物進行驗證,以鞏固/修正他在心中模擬分物的過程。

許多學生因背不出乘法表,而在學習除法時困難重重。以下影片中,學生已知道如何在心中平均分物,只是礙於背錯乘法表而找錯了答案。老師讓學生明白,乘法表能令計算更加快捷,但是若不記得乘法表,加法則是協助找出答案的另一種方式。雖然使用加法較慢,但只要計算準確,一樣可以找出答案。學生若希望自己計算得快又準,則需要在背誦乘法表上多下苦功。

29多1,為何是30?

19到20,29到30,39到40…為何個位的數字會變回「0」,而十位的數字又多了「1」?以下教學短片藉由「粒」和「條」讓學生理解這個變化,並體驗「十進位系統」的運作模式。學生理解了29多1,為何是30後,亦發現個位的數字,最多只可以去到9。

影片中的學生,用「10粒換成1條」來解釋29多1後十位和個位上數字的變化。可能是學生當下思考得出,也可能源於學生曾經有「10粒換成1條」的經驗,此處不再考究。若家長與孩子進行此活動時,用「10粒可以串成1條」來解釋會更為清楚。

位值的教學:由穿珠仔到比較兩位數的大小

由穿珠仔開始,帶學生重新認識「個」、「十」、「百」三個數量單位,並理解三個數量單位之間的關係。

雖然學生已學過「十位」與「個位」,但對兩位數的掌握未夠穩固。以下教學影片是與學生重溫兩位數,用十進積木來表示一個兩位數的數值。

以下教學影片中,學生與教師進行比較大小的遊戲。他們各選擇自己的兩位數,數值大的就贏。她們各選擇兩張數字卡,分別放在十位及個位,製作出一個兩位數,然後用數粒來展示其數值的大小。學生越玩就越發現,比較兩位數大小時,「十位」的數字比「個位」的數字更能影響數值的大小。

減法實物操作與直式的另一種對應方法

在《減法》中我們介紹了用「從上方取走同下方同樣多的數粒」操作對應直式的方法,此處介紹另外一種(見下圖)。兩種對應方法各有優劣,家長應為學童選擇其中一種進行教學,避免混淆。

兩位數的減法

影片一 :利用位值板和十進積木,進行48-32=?的計算。

影片二 :利用位值板和十進積木,進行62-13=?的計算。

三位數的減法

影片三 :利用位值板和十進積木,進行359-201=?的計算。

影片四 :利用位值板和十進積木,進行361-257=?的計算。

影片五 :利用位值板和十進積木,進行408-236=?的計算。

影片六 :利用位值板和十進積木,進行300-126=?的計算。

減法

學習兩位數或多位數的減法,與加法一樣,只要通過位值板和十進積木,讓學童體驗實物操作如何與直式呼應,便可很快掌握直式的減法運算。(十進積木的圖片可按此下載)

減法直式對應的實物操作為「從上面拿走與下面一樣多的數粒」,以8-3=?為例,即

家長可教學童如影片中的小朋友一樣,每操作一步,便在直式上記錄。若學童不能同時兼顧實物操作和直式記錄,家長可用以下方法進行協助:

學童負責在位值板上操作十進積木,同時家長負責在直式上記錄,以兩人合作的方式,確保操作和直式逐步對應。
互換身份,家長負責在位值板上操作十進積木,同時學童負責在直式上記錄,以兩人合作的方式,確保操作和直式逐步對應。
每一次,當學童能完全理解直式運算的實際含義后,家長則可鼓勵學童脫離十進積木,眼看直式,在腦中想著對應的積木,進行計算。

影片一 :利用位值板和十進積木,進行78-26=?的計算。

不夠減怎麼辦? 對應實物,與學童討論個位上方的「粒」不足夠拿走與下方一樣多的「粒」可以怎麽辦。學童看著實物,家長再略微引導,學童便知道可以問十位借1條拆開成10粒。此時,家長宜將這個借位(退位)的過程逐步對應,在直式上記錄下來,從而讓學童明白減法直式中借位操作的實際含義。以下影片交待了完整的借位過程,在學童初學借位時,家長宜跟著影片的步伐,逐步將借位操作和直式記錄對應,幫助其掌握。只要完成了借位,剩下的運算就回到了學童已經掌握的内容了。

影片二 :減法的借位

影片三 :利用位值板和十進積木,進行73-26=?的計算。

家長宜提醒學童每次都應當先觀察題目,只有當發現不夠減時才會需要借位。

三位數的減法也是同一個道理。只是除了有時個位會不夠減需要問十位借(1條拆成10粒)之外,亦有機會出現十位不夠減,要問百位借(1塊拆成10條)。

影片四 :利用位值板和十進積木,進行214-109=?的計算。

影片五 :利用位值板和十進積木,進行204-139=?的計算。

正如以上影片,有時計算會出現個位和十位都不夠減的情況,家長宜提醒學童不要心急。只需要按照以往的計算順序,先計算個位,找出了個位的最終答案後,才去處理十位。

其實,掌握了借位的原理,不論是多大、多複雜的數做減法,都可以用同樣的方法找出正確的答案。以下影片展示了學童如何眼看直式,在腦中想著對應的積木,進行計算的過程。

影片六 :眼看直式,在腦中想著對應的積木,進行四位數的減法計算。