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18以內的加減

不論在日常教學,還是在此次研究之中,我們都發現不少兩位數或三位數加減計算欠佳的學生,並非是因為不懂得直式的計算過程,而是因為缺乏一套有系統的、可靠的計算「18以內加減」的方法。

「18以內加減」是所有加減計算的基礎。我們以計算「452-168=?」 為例:計算時,只要將「452」和「168」按位值對齊、寫成直式,一旦懂得如何退位,接下來的步驟便完全回歸到18以內的減法。如下圖:

可惜的是「18以內加減」的學習內容並未得到學生、家長甚至學校的重視。一方面是大家以為此部分內容太過簡單,誤認為學生表現得好壞只與練習的多少相關;另一方面則是由於學生幼稚園的學習經歷不同,一年級的班房內學生差異極大,不少教師見多數學生都會,便輕視了教學過程。因而,導致學生「18以內加減」計算結果時對時錯,而大人們也以學生「粗心大意」為理由胡亂讓學生過關了。

學習「18以內加減」需要經過「實物操作」、「畫圖計算」、「數手指計算」及練習這四個階段,此處只針對前三者進行介紹。「實物操作」幫助學童從概念上理解「加減」的含意;「畫圖計算」則是打通「數學符號」與「實物操作」的媒介;「數手指計算」將介紹給學童一個簡單、可靠的數手指的系統,令他們能夠時時都能夠準確計算答案﹝不少學生都有「自創」的數手指方法,但往往由於缺乏系統導致計錯數﹞。相信不少家長都會存在「怕孩子太過依賴而遲遲未能擺脫數手指」的擔憂,這一點馮教授所言極是:

「數手指也可稱為「永備計算機」,是人類隨身的計算工具。不容許小孩用手指計算,與不容許嬰兒先學爬行再學走路,可算是同樣地不近人情。擔心小孩長期依賴手指的人,可能並未注意「有系統地數手指」和「胡亂地數手指」的差別。前者不單可滿足計算答案的需要,更可加強數感;後者通常是雜亂無章的嘗試,不一定有助計算,更遑論加強數感。掌握「有系統地數手指」的學生,會較容易把手中計算過程搬進腦袋,只有「胡亂地數手指」的,才會摸不着竅門,長期依賴。即使有些學生遲遲未能擺脫數手指,也是其個人實質的需要,不應過於打壓,只要在學習二年級乘法之前能心算18 或以內的加減,往後的學習不會遇上問題。教師在學生掌握了「有系統地數手指」之後,可逐步加入「在心中數」的要求。隨着計算經驗增加,對數的組合也日見熟習,慢慢地就不會再依賴數手指了。」(馮振業、陳麗萍等,2012)

事實的確如此。我們見到不少學生由於怕家長或教師不允許數手指,結果在做功課或考試時面對簡單計算題因「不記得答案」而停在那裏束手無策。更有稍為懂變通的小朋友偷偷用一隻手在櫃桶裏數手指,結果「數也數錯」。既然學童有「數手指」的需要,不妨允許他們數,至少讓他們知道自己有一個「永備的計算機」,當自己想不到答案的時候便可以借來用一下。而若學生已經有信心完成計算時,家長則可從提高速度的方面鼓勵學生慢慢減少數手指的次數。

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「實物操作」及「畫圖計算」—-加法,減法

首先我們要讓學童了解加法算式的含意,符號「+」代表「合起來」,而「=」代表「所得結果」,整條算式即是問「兩個數合起來是多少?」。在和學童進行實物操作時,應當刻意地把操作過程、文字意思(語言表達)和符號三者對應起來。每進行一次操作,都宜口述「A+B=? 即是問A 和B 合起來是多少」。家長或教師更應當鼓勵學童口述此句句子,它將是幫助學童理解或探討數學問題的語言基礎。

影片:以「6+7=?」為例,通過實物操作介紹加法算式的含意。

當熟悉上述過程後,以下方法則可幫助縮減數算結果的過程。即由第一個數開始往上數而得到結果。

更快的方法可以如下:

接下來,便是「畫圖計算」。圖畫不必複雜,只需要畫圓點(圈)就已經可以很簡潔、很清楚地表示數量了。

影片:以「8+5=?」為例,通過畫圖的方法計算加法。

「實物操作」及「畫圖計算」—-減法

減法算式的含意,符號「-」代表「取走」,而「=」代表「所得結果」,整條算式「A-B=? 即是問 由A 中取走B 的數量結果是多少」。在和學童進行實物操作時,應當刻意地把操作過程、文字意思(語言表達)和符號三者對應起來。家長或教師更應當鼓勵學童進行口述練習,它將是幫助學童理解或探討數學問題的語言基礎。

影片:以「13-7=?」為例,通過實物操作介紹加法算式的含意。

當熟悉上述過程後,以下方法則可幫助縮減數算結果的過程。即由第一個數開始往下倒數而得到結果。

接下來,便是「畫圖計算」。圖畫不必複雜,只需要畫圓點(圈)就已經可以很簡潔、很清楚地表示數量了。

影片:以「14-6=?」為例,通過畫圖的方法計算減法。

「數手指計算18以內的加減法」

數手指系統,是把算式「A ±B = C」中的A的數量放在心裏,B的數量用手指表示,C的數量則由嘴巴說出。

影片:以「6+7=?」為例,通過數手指計算加法。

影片:以「13-7=?」為例,通過數手指計算減法。

我們還可以用「數手指」的方法計算「A+ ? =C」及「A – ? =C」的問題。

影片:以「7+?=13」為例,通過數手指計算「A+ ? =C」的問題。

影片:以「13-?=7」為例,通過數手指計算「A – ? =C」的問題。

總結「數手指的系統」

在「數手指的系統」中,A 必須是已知,要找B 和C 任何一項,只要其餘的都知道就行。找B 時答案顯示於手指上,找C 時答案由口唸出。算「加」便從A 開始順數,算「減」便從A 開始倒數。已知B 的時候收手指,直至雙手握拳,口唸的就是答案;已知C 的時候翻開手指,直至口唸出C 的數值,豎起的手指就是答案。

參考資料:

馮振業、陳麗萍等﹝2012﹞。校本單元數學學習套-教師用書,牛津大學出版社,香港。

兩位數及三位數的加法

加法即是將兩堆或多堆物件的數量合起來,找出總共的數量是多少。

學習兩位數的加法,可以運用位值板和十進積木,親身體驗實物操的過程如何與直式呼應,便可學會直式計算。家長可教學童如影片中一樣,每操作一步,便在直式上記錄。若學童不能同時兼顧實物操作和直式記錄,家長可用以下方法進行協助:

學童負責在位值板上操作十進積木,同時家長負責在直式上記錄,以兩人合作的方式,確保操作和直式逐步對應。
交換工作,家長負責在位值板上操作十進積木,同時學童負責在直式上記錄,以兩人合作的方式,確保操作和直式逐步對應。
而當學童已完全理解直式運算的實際含義后,家長則可鼓勵學童脫離十進積木,眼看直式,在腦中想著對應的積木,進行計算。

(十進積木的圖片 可按此下載

影片一:利用位值板和十進積木,進行32+41=?的計算。

在學習直式初期,位值板對有讀寫障礙的學生非常有用,可幫助他們逐漸穩固各位值的左右位置。在利用位值板進行計算時,宜提醒學童需對齊個位和十位。

影片二:利用位值板和十進積木,進行25+47=?的計算。

進行了「粒」的操作後,會發現「粒」的數量大於10,從而要將10粒換成1條,這便是進位。家長宜特別提醒,在計算十位總共有多少條時,不能忘記要將進位上來的1條。

三位數的加法與兩位數的加法是同一個道理。只不過,除了可能出現10粒組成1條之外,還可能會出現10條組成1塊的情況。在計算直式時只要小心留意有無出現進位的1便可。

影片三:利用位值板和十進積木,進行271+452=?的計算。

影片四:利用位值板和十進積木,進行237+176=?的計算。

四位數、五位數的加法都是同一個道理。