討論兩位數數值與數字的變化

雖然僖僖還未學退位減法,但憑藉他對「位值」的認識,已可以借「條」、「粒」討論當一個兩位數的數值變大/變小時,十位與個位數字會怎樣變化的問題了。一方面,鞏固他對「位值」的了解,另一方面也為日後學習減法退位鋪路。

僖僖樂於表達,這是個好現象。教學過程中他能表達的地方,我都盡量給他機會去說。這個過程中,要給予一些容許錯誤的空間。要知道,在初學階段,學童的腦子很忙碌,又要顧著思考,又要監控手上的學具,還要顧著講話,不小心說錯一些訊息是很正常的事。只要不影響你的理解,就由他接著敘述吧。當他講完,就是「教學」的時間了,我們可以重複一次他的動作,不過用更準確的語言去表達,即不打擊他自信心,又教會他怎麼去表達。他更可以以旁觀者的角度,檢視一遍剛才自己所做所講,從而修正/鞏固概念。等他熟知內容後,再訓練他表達,這便是「小老師」出場的時間了。

關於影片中的數學內容,「滌塵有志」已經用不同的方式呈現了很多遍了,想了解更多,可以參看「順數」練習「倒數」練習,或「29多1,為何是30」這幾篇文章。

位值的教學:由穿珠仔到比較兩位數的大小

由穿珠仔開始,帶學生重新認識「個」、「十」、「百」三個數量單位,並理解三個數量單位之間的關係。

雖然學生已學過「十位」與「個位」,但對兩位數的掌握未夠穩固。以下教學影片是與學生重溫兩位數,用十進積木來表示一個兩位數的數值。

以下教學影片中,學生與教師進行比較大小的遊戲。他們各選擇自己的兩位數,數值大的就贏。她們各選擇兩張數字卡,分別放在十位及個位,製作出一個兩位數,然後用數粒來展示其數值的大小。學生越玩就越發現,比較兩位數大小時,「十位」的數字比「個位」的數字更能影響數值的大小。

位值(二) 比較數的大小, 鞏固及運用位值的觀念

位值(二)側重於讓學童聯繫「十進積木」運用位值的觀念去比較「數」的大小。在學習此內容時,家長宜先用一位數以及兩位數與學童討論比較兩個數大小的方法,當學童掌握了其中的數理後,才延伸至三位數、四位數或更多位數大小的比較。當位數較少時,學童需要顧及的訊息量就會較低,這有利於他們發現和總結兩個數比較大小的方法。而當其內化了方法以及其中的原理後,再進入到更多位數的討論,就會輕鬆一些。

活動一 通過「一一對應」的方法比較數的大小

家長可先展示A、B兩組數粒(圖3-1),詢問學童若不用數,怎樣可知道那一堆的數量較多,那一堆較少?

(圖3-1)

家長可與學童一起,一人負責A組,另一人負責B組。一人拿一粒對齊,把兩組數粒一對一排列進行比較。結果發現B已經用完所有數粒(圖3-2),而A還多出了1粒,因此得到結果:「A 比B 多 」,也可以說「B 比A 少」。在進行比較多少的活動中,每找出一次結果,家長都應要求學生以「( )比( )多」以及「( )比( )少」的句式來匯報結果,語言的訓練一方面可幫助學生理解自己所學習內容,另一方面也是豐富他的語言,方便日後與別人溝通。

(圖3-2)通過一對一排列,可以知道: 「A 比B 多」,而「B 比A 少」。

活動二 比較26和23兩個數的大小

當學童已掌握多的概念和方法後,便可讓學童比較26和23兩個數的大小(圖3-3)。家長可與學童一起,一人負責26,另一人負責23。由於26和23都各有2條,即十位相同,而個位的「粒」卻是26比較多(圖3-4)。因此,可以知道「26 比23 多」,而「23 比26 少」。

(圖3-3)-> (圖3-4)

活動三 比較29和32兩個數的大小

活動二中學童可能會說「因為6大過3,所以26比較大」,若單從26和23而言,碰巧數字6和3都是在個位,而十位數字也正好相同,因此最後結果的確是26較大。接下來的活動三就是要幫助學生發現自己方法的漏洞,從而形成一套時時有效比較大小的方法。

家長可抓住學生上述較粗疏的結論,故意運用到29和32的比較上來。在擺出29和32粒數粒前,先讓學童估一估哪個數較大。家長可裝模作樣地說:「29和32中,9又大過2,肯定29大過32!」。家長可以盡可能誇張地表述這句話,從而引發他的動機和興趣。不論他是否同意家長的想法,接下來「一一對應」拿出相同數量數粒的活動,都將刺激他反思「單憑數字就決定大小」這種方法的不足。

家長與學童照例「一一對應」拿出相同數量的數粒,當每人各拿出了2條後,家長可故意在此停一停,讓學童根據現在的情況(圖3-5)再估一估結果。

(圖3-5)-> (圖3-6)

此次停下的目的則是要讓他觀察發現並解釋「29的個位的數字儘管很大,但只能表示9粒,而32比29十位多出來的1條雖然數字很小,但因為在十位,表示1條即是10粒,肯定比9粒要多」。由此知道在比較大小時還要考慮「位值」。絕大多數學生在此時都能觀察到結果32會比29大,只欠能否用語言表述清楚原因。表述的過程實際是促發學童自發通過實物去聯繫各數字進行數學討論,從中釐清自己的思路,並加以內化。家長若發現小朋友不懂表達,則可和他一起運用前面「一一對應」的方法來引導他思考(圖3-7)。

(圖3-7)

從而得出結論,由於3條比2條多了1條,而這1條有10粒,10粒大過9粒,因此,可以知道「29 比32少」,而「32 比29多」。

接下來,家長可鼓勵學生比較活動二和活動三,詢問為何活動二時我們只需要比較個位而活動三這個方法卻行不通。學童表述的過程實際是學童釐清自己思路、組織和內化活動經驗的重要時刻。語言不順暢、或者詞不達意的情況實屬正常。家長應儘量讓學童先表述,並鼓勵其使用「粒、條」幫助自己表達。家長可使用「你是不是在說……?」或者「你的意思是……?」這些句子來幫助學童知道如何正確的表達,以及反思自己的語言或思路錯誤。

通過比較兩位數的大小,家長和學童可總結出:比較兩位數的大小時,我們應先看位值較高的十位,十位數字大整個數就大,十位數字小整個數就小;十位相同才看個位,個位數字大整個數就大,個位數字小整個數就小。

當學生掌握了比較大小的方法和其中的原理後,便可進入到三位數比較。三位數比較大小方法與兩位數無異,學習的軌道也可照活動二和三進行。

活動四 比較523和519的大小

因為學生已有比較兩個數大小的經驗,家長可先讓學童自己嘗試去比較,而後家長再用回上述「一一對應」的方法和學童一同驗證結果。在百位相同時,三位數的大小比較與兩位數比較完全一樣。即百位數字相同,則比較十位數字的大小,若十位數字相同則繼續比較個位數字的大小。

活動五 比較235和199的大小

經過活動四後,緊接著的問題就是,當百位數字不同時又該如何比較大小?以235和199為例,家長可先讓學童先自己嘗試比較,然後再一起用「粒、條、塊」去驗證結果。其中,我們需要讓學童留意到,當百位數字較大時,不論另一個數的十位和個位數字有多大,它的數值都不可能超過百位較大的數值。活動的過程可如下(圖3-8至 圖3-10)。

(圖3-8):取出235粒和199粒數粒

(圖3-9):「一一對應」進行比較,先從235和199中各拿出了1塊(即100粒)比較,暫時未能分出大小。

(圖3-10):從235中再拿多1塊(拿多了100粒),但199中已經沒有塊了,則用剩下的條和粒與它比較。結果發現,用盡了所有的條和粒(只得99粒),都未夠1塊的數粒的數量多。因此,235比199多,而199比235少。

活動六 比較110和99的大小

最後與學童討論110與99的大小,從而引出比較兩個數的數量時,需要先看清楚數字的位值再進行比較,如110和99之中,110的左邊第一個數字是1,表示的是1塊,即100,而99的左邊第一個數字雖然是9,但表示的是9條,即90,因此數值較小。家長可與學童總結,當比較兩個數大小時,引先對齊數位才開始比較數的大小(圖3-11)。

(圖3-11)

總結

通過以上活動,可為學童總結成比較大小的程序:先對齊數位,然後由最高的數位﹝最左邊的數位﹞的數字開始比較。如果數字相同,再比較第二高的數位﹝由左邊開始的第二個數位﹞。依次類推,直到數字不同,分出大小。

位值(一)

「位值」的意義(一): 由「十進積木」認識個、十、百、千

多位數的運算(無論加、減、乘、除)必須先掌握「位值」的意義。「位值」是大數量運算的基礎,家長切勿因心急而跳過了這一重要學習過程。俱觀察,數學運算表現不理想的學童,雖已經學到多位數,對「A在___位,表示___」這些句子琅琅上口,但他們大多數對位值的了解都只是停留在一個非常表面的層次。以下列舉了部分常見的,因位值認識不足而導致的錯誤。

(圖2-1)

(圖2-2)

(圖2-3)

(圖2-4)

「位值」的意義(一)及(二)介紹了以「十進積木」(圖2-5)教授學童學習「位值」的方法。「十進積木」能夠形象化地顯示位值及計算過程,是理想的數學教具。對於一些對文字符號理解能力較弱的學生而言,「十進積木」的威力還體現于它能夠具體的展示出一個數字在某個數位上所代表的真實數量,使小學階段大部分關於「數」的討論可以變得形象化。

(圖2-5)

家長可通過這兩節的活動,讓學童在「數」中玩耍一番,感受不同位值上的數字所代表數量的差別,體會「位值」的意義。只有當觀察到學童具有文章(二)末尾所描述表現時,家長才可開始與其討論數的運算。

活動一滿10粒組成1條,建立位值觀念

a) 先讓學童將數粒每10粒組成一條,可盡量給學童砌多幾條,並一邊數已經砌成了幾十粒(例如砌了5條,即50粒),從而讓他們對「幾十」有一個具體的概念。家長可和學童一起砌,並不時詢問「我們現在已經砌了多少條?即是多少粒?」。家長應要求學童用完整句子回答,以幫助其發展數學語言。

(圖2-6)

b) 將已砌好每10粒組成1條的數粒放在一邊備用,並另外準備一堆(一粒粒未砌)的數粒。

第一次只允許小朋友從一堆一粒粒未砌的數粒中取出43粒(圖2-7);

第二次允許使用已砌好每10粒組成1條的數粒及其它數粒,取出43粒(圖2-8);

完成後,詢問學童,若期望取出較大的數量(如43、82、99等),哪種方法較為方便?為甚麼?

(圖2-7)

(圖2-8)

c) 詢問學童如果砌成8粒或13粒一條,又能否有那麼方便?若學童不理解這句話,家長可親自砌成8粒或13粒一條的數粒給學生使用,然後再詢問。

由學童的話帶出43有4個十和3個一組成,右邊第一個數字是在個位,上面的數字代表多少「粒」;右邊第二個數字是在十位,代表多少「條」,即「幾十粒」;

活動二讓學童練習由數取量,由量讀數等活動,鞏固其位值概念。

a) 家長寫出一個數,讓學童取出相應的數量的數粒(圖2-9);

(圖2-9)

b) 家長取出一定數量的數粒,讓學童寫出及說出相應的條數、粒數以及相應的數(圖2-10)

(圖2-10)

c) 家長讀一個數,讓學童取出相應數量的數粒,並寫出相應的條數、粒數以及對應的數(圖2-11)。

(圖2-11)

活動三認識百位及千位及練習

a) 由學生數出10條數粒的數量,由此認識10個十就是100,並通過將10條砌成「1塊」,認識像正方形一樣的「1塊」就表示100。然後如同活動二,重複由數取量,由量讀數等活動,鞏固其三位數位值概念。

(圖2-12)

(圖2-13)

b) 此後再由學生數出10塊數粒的數量,由此認識10個一百就是1000,並通過將10塊砌成「1件」,認識像正方體一樣的「1件」就表示1000(圖2-13)。然後如同活動二,重複由數取量,由量讀數等活動,鞏固其四位數的位值概念。

(圖2-14)

最後,家長應與學童重溫:滿10粒就可以砌成1條(即10粒),滿10條就可以砌成1塊(即100粒),滿10塊就可以砌成1件(即1000粒)。從而,讓學童掌握「滿十」就可以用更大的一個「物件」表示,即「十進系統」內的「進位」的實際含義。反過來,1件可拆開成10塊,1塊可以拆開成10條,而1條又可拆開成10粒。這個拆開的過程,亦即是「退位」的實際含義。

「倒數」練習

不少學童在順數時,沒有問題,一旦開始倒數就變得特別的艱難!這可能源於兩方面的原因。

其一,學生對「數」了解得不透徹。學童往往是先學唱數,再學位值。即是說,當讓他由40開始倒數時,他並不知道為什麼「4會變成3,而0會變成9」,甚至不知道要將「40」拆開成「4」和「0」兩個數字分別考慮。

其二,工作記憶(又稱短期記憶,Short-term Memory)較弱。40倒數至39,需要同時處理十位和個位兩個數字,如果學童的工作記憶較弱,就會感到困難。

為了幫助學童度過這個難關,建議先

(a)幫他形成位值觀念,即懂得將「40」拆開成「4」和「0」兩個數字分別看待(詳情可參考由數數到位值-串珠仔,或 位值一 );然後,

(b)可進行以下影片一中的倒數活動,每拿走一粒,說出剩下珠仔的數量。在此過程中,嘗試讓學童去理解為什麼倒數40到39時「4會變成3,而0會變成9」。接下來,

(c)便關掉影片的聲音,讓學童經常跟著影片一進行倒數練習。每次倒數的時間不必長,選擇其中一部分,短短幾十秒已經足夠。

(d)當倒數熟練些後,便換成沒有數字提示的影片二進行倒數練習。

影片一(含數字提示)

影片二(不含數字提示)

「順數」練習

以下影片(順數至49),一方面可用來解釋「順數」數字變化的規律及其原因,另一方面也可用來給學生練習順數時使用。其中串珠的過程,亦爲學生學習「進位」鋪路。

有關倒數的部分,可查看 「倒數」練習

由數數到位值(串珠仔)

以下串珠活動,是要幫助學童由數數過渡到「位值」,並從中體驗「十進」的記數方法。

a.觀察四段數數以及取數的錄像,發現數數語言中內涵的十進系統優勢:如「二十四,即2個十,和4個一」;「七十六,即7個十,和6個一」等。

數數方法一

數數方法二

取數方法一

取數方法二

b.藉由十粒一組方法的優越性,提出將珠仔每十粒串成一條,方便以後使用。(進行串珠活動。)

c.認識位值

d.利用已完成的“條”和剩下的“粒”,進行取數和讀數活動。例如:

教師/家長取2條5粒,學童讀二十五,寫25; ( 按此下載 工作紙)
教師/家長讀「三十六」,學童取3條6粒,寫36;
教師/家長寫43,學童取4條3粒,讀四十三。

e.利用已完成的“條”,進行整十的練習。詢問學童「3條是多少粒?,4條是多少粒?」或者「30粒是多少條?40粒是多少條?」等

f.利用已完成的“條”和剩下的“粒”,進行「再多X粒是多少?」的活動。例如:放置3條7粒,詢問再多放3粒是多少?此時,學童需要通過添加3粒珠仔,並將新組成的10粒珠仔串成一條,表示添加3粒就到40。

g.利用已完成的“條”和剩下的“粒”,進行“XX(整十)取走1是多少”的活動。例如:放置4條(即40粒珠仔),詢問「取走3粒」是多少?」

學童需要通過先拆開一條,並將取得的10粒珠仔取走3,得到3條7 粒,表示37。

以上一連串的串珠、數數的經驗,不但幫助學童形成紮實的「位值」觀念,更為學童日後學習加、減法的進、退位舖下了路。