由不退位減法到退位減法

兩位數減法(1):不涉及退位的減法

在學習直式計算減法的時候,最主要搞清楚直式各部分的意思。影片中,透過條粒對應直式,正是讓學生掌握直式上各數的意思。若家長/教師在教導學生時,應當鼓勵他們一遍做一遍說「原有XX,取走XX,剩下XX」。

大多數學生在進行不退位減法時,都會習慣性從十位做起。影片中的學生也是先取走了十位的2條,再取走個位的5粒。在不涉及退位時,從個位開始計算,並沒有什麼明顯的優勢。反而從十位開始計算,符合學生慣用的「從左到右」的順序。這也解釋了為什麼家長/老師在此時要求學生從個位開始計算,學生並不十分願意遵從。家長/教師不妨將「從個位開始計算」留到涉及退位的減法時,再與學生討論及改良計算過程。

兩位數減法(2):涉及退位的減法(學生選擇由十位做起)

學生還未比較過退位減法中「由十位做起」與「由個位做起」兩者運算上的不同,因此影片中的學生在第一次遇見退位減法的過程中,還是按自己以往在做不退位減法時的方式,由十位做起。

教師在影片中未要求學生要對應直式逐步計算,這是因為此次是學生第一次接觸「個位原有的數不夠減」的情況,教師想讓學生先嘗試自己解決問題,從而對「退位」有較完整/深刻的體驗。

在後續影片,教師會與學生將實物操作與直式操作逐步對應,從而討論「由個位開始做」及「由十位開始做」兩者的優異。

兩位數減法(3):涉及退位的減法(由十位做起,還是由個位做起?)

在之前的影片中,學生已透過實物操作,對「退位」由基本的認識,知道當個位粒的數量不夠取走對應的數量時,可以將十位的1條拆開成10粒,然後再取走。

此影片中,教師與學生將實物操作與直式操作逐步對應,並嘗試比較「由個位開始做」及「由十位開始做」兩者的優異。在討論時,學生最初的討論有些混亂,好在後來自己釐清了思路,同意「由個位開始做」操作會比較簡潔。

如何幫助工作記憶較弱的學生處理兩次或以上的退位減法

(1)學習退位

「退位」聽起來只是一件事,但如需在算式上清楚地記錄退位的過程,則需要同時改變兩個數位上的數字。因此,教學中,建議刻意將「退位」用「前借1,後多10」兩句短句來描述,並要求學生逐句念,逐句記錄。「前」和「後」兩字,實際提醒學生需要在兩個位置上做記錄,否則便未完成退位的過程。

如果學童能在一次退位時,便留意要用紙筆完整地記錄退位的兩個步驟才開始計算,則能幫助學童為多次退位打好基礎。

(2)分清次目標

到了三位數或者更多位數的減法,因爲涉及的步驟繁多,數字訊息也較多,所以我們還需要教導學生要耐心地逐欄計算-從個位開始,逐個數位計算。完成一位,才到下一位。否則,對於工作記憶較弱的學童而言,很容易計算中途不知道自己該做什麼。

另外,在教學中,可使用自製教具 -遮擋板。透過遮擋住算式,讓學生指出需要知道哪個位置的數字,再顯示給他們看。這能幫助學生區分哪些數字是當下的計算步驟必要的訊息,哪些訊息是與當下的步驟無關的。避免他們在計算時,注意力分散去其他地方,或者受到無關數字訊息的干擾。有需要的學生,更可教其用手指模仿老師的遮擋板,幫助自己遮擋無關訊息的干擾。

簡單來說,若在教學中能讓學生體會到以下幾點,三位數的減法並不是那麼困難。

雖然要計算的數位增多了,但在不同數位上的計算步驟是一樣的。不論是個位、十位、百位還是千位,都是在重複同一組動作:
a. 看看夠不夠減;
b. 不夠減就先退位--「前借1,後多10」;
c. 夠減就減,記錄答案。
從個位開始,逐個數位計算。完成一個位,才到下個位。
按計算需要鎖定必要訊息,防止無關訊息的干擾。(自製教具 -遮擋板 )

影片:三位數兩次退位的計算程序:

影片:教導學生有條理地逐步完成計算:

影片:三位數兩次退位(被減數的中間是0)的計算程序:

影片:教導學生有條理地逐步完成計算(被減數的中間是0):

減法實物操作與直式的另一種對應方法

在《減法》中我們介紹了用「從上方取走同下方同樣多的數粒」操作對應直式的方法,此處介紹另外一種(見下圖)。兩種對應方法各有優劣,家長應為學童選擇其中一種進行教學,避免混淆。

兩位數的減法

影片一 :利用位值板和十進積木,進行48-32=?的計算。

影片二 :利用位值板和十進積木,進行62-13=?的計算。

三位數的減法

影片三 :利用位值板和十進積木,進行359-201=?的計算。

影片四 :利用位值板和十進積木,進行361-257=?的計算。

影片五 :利用位值板和十進積木,進行408-236=?的計算。

影片六 :利用位值板和十進積木,進行300-126=?的計算。

減法

學習兩位數或多位數的減法,與加法一樣,只要通過位值板和十進積木,讓學童體驗實物操作如何與直式呼應,便可很快掌握直式的減法運算。(十進積木的圖片可按此下載)

減法直式對應的實物操作為「從上面拿走與下面一樣多的數粒」,以8-3=?為例,即

家長可教學童如影片中的小朋友一樣,每操作一步,便在直式上記錄。若學童不能同時兼顧實物操作和直式記錄,家長可用以下方法進行協助:

學童負責在位值板上操作十進積木,同時家長負責在直式上記錄,以兩人合作的方式,確保操作和直式逐步對應。
互換身份,家長負責在位值板上操作十進積木,同時學童負責在直式上記錄,以兩人合作的方式,確保操作和直式逐步對應。
每一次,當學童能完全理解直式運算的實際含義后,家長則可鼓勵學童脫離十進積木,眼看直式,在腦中想著對應的積木,進行計算。

影片一 :利用位值板和十進積木,進行78-26=?的計算。

不夠減怎麼辦? 對應實物,與學童討論個位上方的「粒」不足夠拿走與下方一樣多的「粒」可以怎麽辦。學童看著實物,家長再略微引導,學童便知道可以問十位借1條拆開成10粒。此時,家長宜將這個借位(退位)的過程逐步對應,在直式上記錄下來,從而讓學童明白減法直式中借位操作的實際含義。以下影片交待了完整的借位過程,在學童初學借位時,家長宜跟著影片的步伐,逐步將借位操作和直式記錄對應,幫助其掌握。只要完成了借位,剩下的運算就回到了學童已經掌握的内容了。

影片二 :減法的借位

影片三 :利用位值板和十進積木,進行73-26=?的計算。

家長宜提醒學童每次都應當先觀察題目,只有當發現不夠減時才會需要借位。

三位數的減法也是同一個道理。只是除了有時個位會不夠減需要問十位借(1條拆成10粒)之外,亦有機會出現十位不夠減,要問百位借(1塊拆成10條)。

影片四 :利用位值板和十進積木,進行214-109=?的計算。

影片五 :利用位值板和十進積木,進行204-139=?的計算。

正如以上影片,有時計算會出現個位和十位都不夠減的情況,家長宜提醒學童不要心急。只需要按照以往的計算順序,先計算個位,找出了個位的最終答案後,才去處理十位。

其實,掌握了借位的原理,不論是多大、多複雜的數做減法,都可以用同樣的方法找出正確的答案。以下影片展示了學童如何眼看直式,在腦中想著對應的積木,進行計算的過程。

影片六 :眼看直式,在腦中想著對應的積木,進行四位數的減法計算。

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18以內的加減

不論在日常教學,還是在此次研究之中,我們都發現不少兩位數或三位數加減計算欠佳的學生,並非是因為不懂得直式的計算過程,而是因為缺乏一套有系統的、可靠的計算「18以內加減」的方法。

「18以內加減」是所有加減計算的基礎。我們以計算「452-168=?」 為例:計算時,只要將「452」和「168」按位值對齊、寫成直式,一旦懂得如何退位,接下來的步驟便完全回歸到18以內的減法。如下圖:

可惜的是「18以內加減」的學習內容並未得到學生、家長甚至學校的重視。一方面是大家以為此部分內容太過簡單,誤認為學生表現得好壞只與練習的多少相關;另一方面則是由於學生幼稚園的學習經歷不同,一年級的班房內學生差異極大,不少教師見多數學生都會,便輕視了教學過程。因而,導致學生「18以內加減」計算結果時對時錯,而大人們也以學生「粗心大意」為理由胡亂讓學生過關了。

學習「18以內加減」需要經過「實物操作」、「畫圖計算」、「數手指計算」及練習這四個階段,此處只針對前三者進行介紹。「實物操作」幫助學童從概念上理解「加減」的含意;「畫圖計算」則是打通「數學符號」與「實物操作」的媒介;「數手指計算」將介紹給學童一個簡單、可靠的數手指的系統,令他們能夠時時都能夠準確計算答案﹝不少學生都有「自創」的數手指方法,但往往由於缺乏系統導致計錯數﹞。相信不少家長都會存在「怕孩子太過依賴而遲遲未能擺脫數手指」的擔憂,這一點馮教授所言極是:

「數手指也可稱為「永備計算機」,是人類隨身的計算工具。不容許小孩用手指計算,與不容許嬰兒先學爬行再學走路,可算是同樣地不近人情。擔心小孩長期依賴手指的人,可能並未注意「有系統地數手指」和「胡亂地數手指」的差別。前者不單可滿足計算答案的需要,更可加強數感;後者通常是雜亂無章的嘗試,不一定有助計算,更遑論加強數感。掌握「有系統地數手指」的學生,會較容易把手中計算過程搬進腦袋,只有「胡亂地數手指」的,才會摸不着竅門,長期依賴。即使有些學生遲遲未能擺脫數手指,也是其個人實質的需要,不應過於打壓,只要在學習二年級乘法之前能心算18 或以內的加減,往後的學習不會遇上問題。教師在學生掌握了「有系統地數手指」之後,可逐步加入「在心中數」的要求。隨着計算經驗增加,對數的組合也日見熟習,慢慢地就不會再依賴數手指了。」(馮振業、陳麗萍等,2012)

事實的確如此。我們見到不少學生由於怕家長或教師不允許數手指,結果在做功課或考試時面對簡單計算題因「不記得答案」而停在那裏束手無策。更有稍為懂變通的小朋友偷偷用一隻手在櫃桶裏數手指,結果「數也數錯」。既然學童有「數手指」的需要,不妨允許他們數,至少讓他們知道自己有一個「永備的計算機」,當自己想不到答案的時候便可以借來用一下。而若學生已經有信心完成計算時,家長則可從提高速度的方面鼓勵學生慢慢減少數手指的次數。

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「實物操作」及「畫圖計算」—-加法,減法

首先我們要讓學童了解加法算式的含意,符號「+」代表「合起來」,而「=」代表「所得結果」,整條算式即是問「兩個數合起來是多少?」。在和學童進行實物操作時,應當刻意地把操作過程、文字意思(語言表達)和符號三者對應起來。每進行一次操作,都宜口述「A+B=? 即是問A 和B 合起來是多少」。家長或教師更應當鼓勵學童口述此句句子,它將是幫助學童理解或探討數學問題的語言基礎。

影片:以「6+7=?」為例,通過實物操作介紹加法算式的含意。

當熟悉上述過程後,以下方法則可幫助縮減數算結果的過程。即由第一個數開始往上數而得到結果。

更快的方法可以如下:

接下來,便是「畫圖計算」。圖畫不必複雜,只需要畫圓點(圈)就已經可以很簡潔、很清楚地表示數量了。

影片:以「8+5=?」為例,通過畫圖的方法計算加法。

「實物操作」及「畫圖計算」—-減法

減法算式的含意,符號「-」代表「取走」,而「=」代表「所得結果」,整條算式「A-B=? 即是問 由A 中取走B 的數量結果是多少」。在和學童進行實物操作時,應當刻意地把操作過程、文字意思(語言表達)和符號三者對應起來。家長或教師更應當鼓勵學童進行口述練習,它將是幫助學童理解或探討數學問題的語言基礎。

影片:以「13-7=?」為例,通過實物操作介紹加法算式的含意。

當熟悉上述過程後,以下方法則可幫助縮減數算結果的過程。即由第一個數開始往下倒數而得到結果。

接下來,便是「畫圖計算」。圖畫不必複雜,只需要畫圓點(圈)就已經可以很簡潔、很清楚地表示數量了。

影片:以「14-6=?」為例,通過畫圖的方法計算減法。

「數手指計算18以內的加減法」

數手指系統,是把算式「A ±B = C」中的A的數量放在心裏,B的數量用手指表示,C的數量則由嘴巴說出。

影片:以「6+7=?」為例,通過數手指計算加法。

影片:以「13-7=?」為例,通過數手指計算減法。

我們還可以用「數手指」的方法計算「A+ ? =C」及「A – ? =C」的問題。

影片:以「7+?=13」為例,通過數手指計算「A+ ? =C」的問題。

影片:以「13-?=7」為例,通過數手指計算「A – ? =C」的問題。

總結「數手指的系統」

在「數手指的系統」中,A 必須是已知,要找B 和C 任何一項,只要其餘的都知道就行。找B 時答案顯示於手指上,找C 時答案由口唸出。算「加」便從A 開始順數,算「減」便從A 開始倒數。已知B 的時候收手指,直至雙手握拳,口唸的就是答案;已知C 的時候翻開手指,直至口唸出C 的數值,豎起的手指就是答案。

參考資料:

馮振業、陳麗萍等﹝2012﹞。校本單元數學學習套-教師用書,牛津大學出版社,香港。