以分割法、填補法和轉移法計算面積

以分割法、填補法和轉移法計算面積

馮振業

香港教育大學數學與資訊科技學系

 

分割與填補

要計算圖1四邊形ABCD的面積,不論中、小學生都沒有可以直接套用的公式。因此,必須尋求把問題轉化成有公式可以套用的狀態。一般書本都會提及分割法和填補法:前者是把沒有面積公式可以套用的圖形,分割成若干個有面積公式可以套用的圖形;後者則是補上若干個有面積公式可以套用的圖形,與原本沒有面積公式可以套用的圖形,拼成一個有面積公式可以套用的圖形。如此這般,即可藉加、減法算出沒有面積公式可以套用的圖形的面積。當然,能否成功計算,也得考慮題目提供的資料是否配合。

 

圖1

以分割法計算圖1四邊形ABCD的面積,可以考慮分割成三角形ABD和三角形BCD,不過面積公式要求的底和高,題目卻並無完整地提供。若以BD為兩三角形的公共底邊,高卻只能是未知的AP和CP。掌握代數技巧的學生,可以這樣列式:

 

四邊形ABCD的面積 =  × BD × AP + × BD × CP =  × BD × (AP + CP)

 

由於其中BD  和 (AP + CP) 都是題目已知,故可成功解題。以填補法計算的就可以考慮補上三角形ADC,最終得以下算式:

 

四邊形ABCD的面積 =  × AC × BP − × AC × DP =  × AC × (BP − DP)

 

由於其中AC  和 (BP − DP) 都是題目已知,故同樣可以成功解題。

 

面積轉移

除此之外,還有另一途徑,就是依賴由三角形面積公式引申的「等底同高三角形面積相等」。這想法跳出了靜態圖形的分析框框,比建基於圖形剪貼的分割法和填補法提供更廣闊的思考空間。以上題為例,只要固定BD為兩三角形的公共底邊,把三角形ABD和三角形BCD分別進行定高變形,即讓A沿平行於BD的直線L1上移動至 H,讓C沿平行於BD的直線L2上移動至 K,則不論H和K的位置,得出的三角形HBD和三角形KBD的面積分別等於三角形ABD和三角形BCD(圖2)的面積。在特殊位置HBK成直線且垂直於BD時(圖2),要計算的其實就是三角形HKD的面積,而題目已知的AC和BD,剛好就是直接套用三角形面積公式所需的一對底和高。

 

圖2

圖3

源遠流長的計算策略

在人類的歷史裡,這種計算策略很早已經出現。公元前二百多年的區幾里得(Euclid),就為著名的畢氏定理做了一個運用面積轉移策略的證明(詳見Heath, 1925),其手法是對圖4的兩個小正方形進行面積轉移,首階段借助兩對平行線把兩個正方形的面積分別化為圖5的兩個平行四邊形的面積,接下來借助另外兩對平行線將兩個平行四邊形的面積化為圖6的兩個組成下方大正方形的長方形的面積。這證明漂亮得千古流傳,為人津津樂道,骨子裡就是面積轉移。

 

 

圖4

圖5

圖6

遠在東方的中國也用上同樣的方法,古籍《周髀算經》約在公元前後一百年成書,其中有「既方之外半其一矩,環而共盤得成三四五」一句(圖7),交代了畢氏定理的證明。由於文句隱晦,只能參考後人的猜測和注解。其中一種解釋就是在大正方形四邊外方圍上四個全等的直角三角形(圖8),然後移動其中三個(圖9)至得到圖10,與起始時的圖形面積比較,就知圖8空白部分的大正方形面積,可轉移成圖10中空白部分的兩個較小的正方形的面積總和。推論簡約而精煉,令人拍案叫絕!

 

圖7

 

圖8

 

圖9

 

圖10

 

參考資料

Heath, T. L. (1925). The thirteen books of Euclid’s Elements (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press.

個案跟進

今天是3月27日,上星期五進行了家訪,藉以了解抽離小組內一位學習態度積極的女孩,成績與用功程度不配的問題。一行三人,包括獨立監察員潘頌兒博士、最近替課的彭詠儀老師(原任黃彩霞老師抱恙)和我。聽家長說女孩曾提醒家人不要只供開水,一定要沏茶,免得來訪嘉賓覺得她家境貧窮。這點訊息令人感觸良多。首先是女孩非常懂事,注意到不令來賓不悅的禮貌,儘管她是多慮了。其次是區分貧富的心魔,顯然也抓住了女孩的心,揮之不去。這是社會共享價值的投映,榮富哀貧,是一種遠離文明的思想,令孩子沾上了,是社會的不幸。

家訪期間我們詢問了女孩的在家情況,也作了一些觀察。總體而言,不發現任何嚴重不對勁的情況,只是也許單親家庭的母親辛勞工作,陪伴女兒的時間少了些罷了。稍後安排了女孩接受心理學評估,待找出問題所在之後對症下藥,藉課後輔導時間進行針對性的技巧訓練,希望幫助她克服學習困難。由於這部分的工作超越了我進行的課堂教學介入部分,不論在資源或專門知識方面都不是我能應付,故請計畫的獨立監察員潘頌兒博士負責。

數學內外

今天是3月20日,最近抽離小組的統測考卷出現了以下一題:

其中最後問到的是給老師一個建議,並述原因。此等較開放的設問方式,見於TSA考題,原意是鼓勵學生靈活地思考,沒想到其實觸及數學以外的事情,非單純數學可以解決。

除了第43題搬字過紙之外,第44-46題問的,都存在清晰的數學條件或標準,答案唯一,絕無爭議。反觀第47題,根據統計圖的資料,只能得出各項小食的最喜愛人數,至於如何轉化為對老師的建議,卻不是數學知識可以推論得出。抽離小組有些同學答了水果,提供的原因是有益身體,與學校時常訓示學生的說法一致。結果當然無分,因與標準答案「薯片」和「最多同學愛吃」不同。

要成為一個數學問題,必須有個清楚的數學條件。給老師的建議,到底該按甚麼標準得出?如果按「最多同學愛吃」的標準,答案是「薯片」當無異議,不過相應的設問方式該是「3E班舉行生日派對,陳老師打算按同學的喜好預備小食,你建議她應多買__________,因為________________________________。」反過來,如果按「最天然」的標準,設問方式該是「3E班舉行生日派對,陳老師打算為同學預備多些天然小食,你建議她應多買__________,因為________________________________。」由於生活上的決定可能考慮眾多因素,如何取捨得出數學條件,從而作出建議,明顯超出數學知識的領域,涉及數學以外的事情,不能以數學題視之。

教授小學數學,時常觸及數學的內外兩面,若專科訓練不足,便很容易出錯。

教條下的基數和序數

今天是3月13日,早前一則關於小一數學題的報導曾引發網上熱議。圖1顯示第1題(a)學生寫「七」表示飲品的罐數,老師判錯並要求改正。結果學生猜黃色的一罐可能並非飲品,於是改答案為「六」。按相同的推理,學生把第2題(a)被判錯的「五」改為「四」,改至第2題(b),學生可能有點氣餒了。另一題同樣衍生類似情況,圖2第6題(a)學生寫「五」表示汽車輛數,被判錯後即猜測汽車可能不包「小巴」和「巴士」,把「五」改為「三」,下面第7題(a)被判錯的「七」,最終在瞎猜之下被胡亂改為「六」。

圖1

圖2

得朱子穎校長提醒(https://www.hk01.com/熱話/57971/-原來有得解-TSA數學題玩小學生-校長澄清-批改教師無錯),原來教育局有一份文件(http://www.edb.gov.hk/attachment/tc/curriculum-development/kla/ma/res/pri/teaching.pdf)含有圖3的說明。當中舉例,都是以阿拉伯數字表達數量(即基數),以中國數字表達次序(即序數),難怪學校老師不接受以中國數字表達數量。然而,現實世界卻不一定按這規矩行事。單看TSA考卷封面頁,就同時使用阿拉伯數字表達數量和次序(圖4紅色方格中)。

圖3

圖4

確立1997年香港主權移交的《中英聯合聲明》,則剛好相反,於附件一(http://www.cmab.gov.hk/tc/issues/jd3.htm)同時使用中國數字表達數量和次序(圖5紅色方格中)。

圖5

學校考卷的題號是序數,不曾見過不用阿拉伯數字,連普通練習(圖1和圖2)也不例外。再看教育城的數學科教學資源,也可在同一頁面(https://www.hkedcity.net/etv/resource/1219972369)找到「一星期七天」和「一星期有7天」的文字描述(圖6紅色方格中)。

圖6

在法律條文上,以阿拉伯數字表達次序及以中國數字表達數量的用法,可算俯拾即是。例如在《無遺囑者遺產條例》(https://www.elegislation.gov.hk/hk/cap73@2006-02-11T00:00:00)之中,就有「第2條」和「父母二人」等用法(圖7紅色方格中)。最後,本文同時混雜使用阿拉伯數字和中國數字表達序數,也不見得影響閱讀。

圖7

或許有人會說,小朋友需要有規可循,有法可依,任由自主會無所適從。我並不反對這個說法,但不能接受有人誤導學生,把這些規條說成是數學知識的一部分。試想每天上課,老師總頒令些與數學無關的教條要學生依從(但自己卻不一定依從),日積月累,學生腦袋會被大量教條佔據,再容不下真正的數學了。

在白紙上檢測和製圖

今天是3月6日,上兩星期完成了垂直線、平行線和平行四邊形的教學,當中核心本領包括:(一)檢測垂直線、(二)畫通過指定點垂直線、(三)檢測平行線和(四)畫通過指定點平行線。有了這些本領,所有關於這些內容的考題都有法可依了。

初步觀察,大部分學都能在白紙上完成以上工作(暫不苛求精確度),至於能否在方格紙或各種釘點紙上運用這些本領答題,仍有待進一步證據確認。

沒有家課和紙筆測考的一年級,行嗎?

今天是2月28日,教育局在《幼稚園教育課程指引》中建議一年級「進行單元或主題式的探究學習活動,延續學生在幼稚園階段已引發的好奇心。…學校不宜在小一生入學初期進行默寫活動或紙筆評估。教師亦不宜要求小一生背誦或強記大量學科知識。」(頁75)報導指資助小學校長會副主席張勇邦先生認為小一學生入學後需盡快吸收學科知識,假如首學期沒有任何測驗,校方難以掌握學生的學習進度(http://hk.apple.nextmedia.com/news/art/20170228/19942736)。這看法與他堅持TSA數據有助回饋教學的取態(http://hk.apple.nextmedia.com/news/art/20151025/19346983)完全一致,不令人感到意外。

世界上很多地方的六歲學童都沒有家課和紙筆測考,不見得一定沒有學習可言。我們要警惕的是要求小一學生「盡快吸收學科知識」的心態,和沒有紙筆測考就「難以掌握學生的學習進度」的專業識見。《幼稚園教育課程指引》指出要「延續學生在幼稚園階段已引發的好奇心」,不禁令人唏噓。言下之意是升上小一,學生的好奇心便會消失。依我看,好奇心不能說是「在幼稚園階段已引發的」,而是與生俱來!大家只要看看嬰兒是如何與世界接觸,如何與身邊的人互動便知,不勞專家解說。入讀小學後逐漸失去學習興趣,已是司空見慣(可看http://hk.apple.nextmedia.com/news/art/20170211/19925008),只是教育界仍採鴕鳥政策,對真問題不聞不問,只做些隔靴搔癢的假改革(例如電子學習、STEM教育等)。

沒有家課和紙筆測考的一年級,仍然可以提供豐富的學習經歷,關鍵在於教師的專業水平和備課質素。要在這兩方面突破,不能寄望心智和識見都處於紙筆測考的囚籠之中的校長和教育主管。

 

深度介入

今天是2月20日,抽離小組有一位學生,上課時表現一直很好,但測考卻總是成績低落。上星期六與其家長見面,除了交流學生的表現,還得到家長同意,藉課後輔導時間對學生進行單對單的深度介入,希望扭轉目前測考成績與課堂表現矛盾的情況。

這項介入暫定至本學年尾,由特殊學習需要與融合教育中心的潘頌兒博士領導。我們會進行兩次家訪及令學生接受心理學家評估,務求找出原因及對症下藥,提供方法讓學生在家長協助之下克服困難。

對策前瞻

今天是2月13日,之前提及某些抽離小組成員的兩項學習困難:(一)因生活經驗貧乏而對應用題情境感到陌生;及(二)理解以書面語表達的應用題感到吃力。初步想到以下對策:(A)加強生活經驗訓練,例如多做生活實物演練和角色扮演。此法針對來自(一)的壓力。(B)嘗試透過影片向學生表達應用題,此法可有限度地繞過(二)的桎梏。

試行(A)法將帶來課時上的壓力,要設法在輔導時間找空間,是否可行仍需探討。為進行(B)法已製作了少量影片應用題,準備做些小規模試驗,稍後可觀察效果。

文字障礙

今天是2月6日,前面提及抽離小組有幾位同學的文字障礙十分嚴重,對含大量文字的應用題一籌莫展,當中的困難可粗略地分兩方面探討。其一是生活經驗薄弱,令他們對一些一般人認為很生活化的應用情境感到陌生,故而不能理解題意。箇中原因多是缺乏家長關愛和照韻,或沒有一般人的家庭生活。這些問題教師鞭長莫及,暫且不作討論。其二是字、詞和文句理解力不足,當中也有兩個層次:較易處理的是純書面語理解困難,較難攻破的是文句邏輯性理解困難。前者只要化為口語,學生就可理解和自行解題,而後者卻不能簡單地藉化為口語解決。先前已舉的例子(http://www.mathematising.net/index.php/learningdifficulties/hardshiplifewithmaths/280-2016-10-03),現重錄如下,可說明何謂文句邏輯性理解困難。

例1
寫出一個比19365大,又比20776小的單數。

例2
寫出一個比19365大,又比20776小,而且與兩數相差都大於600的單數。

例1是2016年TSA試行考題,其邏輯結構是「p及q及r」,其中p是「要找的數是大於19365」,q是「要找的數是小於20776」,而r則是「要找的數是單數」。這樣的邏輯結構,對抽離小組的幾位SEN學生已構成很大的困難。例2是我依例1改編而得的,其邏輯結構比例1複雜得多,有興趣的可自行分析一下。可以肯定,例2對所有學生都有壓力!

上述兩個例子除了可以說明何謂文句邏輯性理解困難,也能顯示考題以欺負頭腦還未成熟的學生的居心,兩例的分別只在於打擊面的闊窄不同罷了。如果有人認為我出例2旨在打擊學生,其心可誅,我得反問:為何出例1的人只集中欺負SEN學生,社會大眾及教育界同業卻不認為有問題?

上學期考試

今天是1月23日。上學期的考試結果已經出來了,小組共有9位學生,是次考試有5位成績及格,其餘4位成績介乎40-59分之間。不及格的學生當中,有兩位離及格只差少許,而他們主要是面對專注力不足的問題,有可能考試時間對他們來說太長或者考卷題目太多,難以在指定時間內專注地完成。是次考試成績與統測成績相比,部分學生均有明顯進步(見表一)。值得一提的是今個年度有一位學生已經離開小班進入融合班上課,是次考試取得86分不錯的成績。

表一﹕下表顯示學生於統測及考試的成績

學生 A B C D E F G H I(今年加入)
統測成績 70 58 67 43 60 51 47 61 49
考試成績 79 56 70 39 59 49 61 74 70

 

是次統考試內容主要分為五位數、乘除計算題、加減乘除的文字題、公里毫米、以及二年級的學習內容(已有知識),各部分的佔分比重和學生的答對率見表二。

 

 

表二﹕各部分的佔分比重和學生的答對率

五位數 乘除計算題 文字題 公里和毫米 二年級的學習內容
試卷佔分 10分 10分 39分 22分 15分
試題數目 5題 5題 17題 12題 8題
答對率 約79% 約82% 約50% 約62% 約60%

由表二可見,五位數、乘除式題的計算部分和公里毫米大約佔整份考卷的40%,文字題大約佔整份考卷的40%,已有知識部分佔了20%,由各部分的答對率可見,學生於計算題和五位數的表現尚算理想,而文字題的表現仍是最弱的部分,這也呈現了有特殊學習障礙的學生的認字的能力和對文字理解的能力相對較弱的問題,因此在處理文字題對他們而言仍是一大挑戰。再者他們的生活經驗不足,日常詞彙較少,亦會影響他們處理文字題的表現,例如一年有12個月,一打有12件,半打有6件,來回即是走了2次等他們未必知道,須要反覆溫習才會記得。而且對於要「記住」的知識,如立體圖形的名稱、長度單位、長度單位的換算等,這類學生受長期記憶的檢索困難的影響,在考試時容易忘記或出現詞彙上的混淆。因此定期溫故、增加學生的詞彙和日常生活經驗,對他們的學習是非常重要的。