以分割法、填補法和轉移法計算面積

以分割法、填補法和轉移法計算面積

馮振業

香港教育大學數學與資訊科技學系

 

分割與填補

要計算圖1四邊形ABCD的面積,不論中、小學生都沒有可以直接套用的公式。因此,必須尋求把問題轉化成有公式可以套用的狀態。一般書本都會提及分割法和填補法:前者是把沒有面積公式可以套用的圖形,分割成若干個有面積公式可以套用的圖形;後者則是補上若干個有面積公式可以套用的圖形,與原本沒有面積公式可以套用的圖形,拼成一個有面積公式可以套用的圖形。如此這般,即可藉加、減法算出沒有面積公式可以套用的圖形的面積。當然,能否成功計算,也得考慮題目提供的資料是否配合。

 

圖1

以分割法計算圖1四邊形ABCD的面積,可以考慮分割成三角形ABD和三角形BCD,不過面積公式要求的底和高,題目卻並無完整地提供。若以BD為兩三角形的公共底邊,高卻只能是未知的AP和CP。掌握代數技巧的學生,可以這樣列式:

 

四邊形ABCD的面積 =  × BD × AP + × BD × CP =  × BD × (AP + CP)

 

由於其中BD  和 (AP + CP) 都是題目已知,故可成功解題。以填補法計算的就可以考慮補上三角形ADC,最終得以下算式:

 

四邊形ABCD的面積 =  × AC × BP − × AC × DP =  × AC × (BP − DP)

 

由於其中AC  和 (BP − DP) 都是題目已知,故同樣可以成功解題。

 

面積轉移

除此之外,還有另一途徑,就是依賴由三角形面積公式引申的「等底同高三角形面積相等」。這想法跳出了靜態圖形的分析框框,比建基於圖形剪貼的分割法和填補法提供更廣闊的思考空間。以上題為例,只要固定BD為兩三角形的公共底邊,把三角形ABD和三角形BCD分別進行定高變形,即讓A沿平行於BD的直線L1上移動至 H,讓C沿平行於BD的直線L2上移動至 K,則不論H和K的位置,得出的三角形HBD和三角形KBD的面積分別等於三角形ABD和三角形BCD(圖2)的面積。在特殊位置HBK成直線且垂直於BD時(圖2),要計算的其實就是三角形HKD的面積,而題目已知的AC和BD,剛好就是直接套用三角形面積公式所需的一對底和高。

 

圖2

圖3

源遠流長的計算策略

在人類的歷史裡,這種計算策略很早已經出現。公元前二百多年的區幾里得(Euclid),就為著名的畢氏定理做了一個運用面積轉移策略的證明(詳見Heath, 1925),其手法是對圖4的兩個小正方形進行面積轉移,首階段借助兩對平行線把兩個正方形的面積分別化為圖5的兩個平行四邊形的面積,接下來借助另外兩對平行線將兩個平行四邊形的面積化為圖6的兩個組成下方大正方形的長方形的面積。這證明漂亮得千古流傳,為人津津樂道,骨子裡就是面積轉移。

 

 

圖4

圖5

圖6

遠在東方的中國也用上同樣的方法,古籍《周髀算經》約在公元前後一百年成書,其中有「既方之外半其一矩,環而共盤得成三四五」一句(圖7),交代了畢氏定理的證明。由於文句隱晦,只能參考後人的猜測和注解。其中一種解釋就是在大正方形四邊外方圍上四個全等的直角三角形(圖8),然後移動其中三個(圖9)至得到圖10,與起始時的圖形面積比較,就知圖8空白部分的大正方形面積,可轉移成圖10中空白部分的兩個較小的正方形的面積總和。推論簡約而精煉,令人拍案叫絕!

 

圖7

 

圖8

 

圖9

 

圖10

 

參考資料

Heath, T. L. (1925). The thirteen books of Euclid’s Elements (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press.